기하평균
더해서 나누는 대신 곱해서 제곱근을 씌우는, '배수와 성장률'을 위한 맞춤형 평균이에요.
정의 기하평균(幾何平均)은 여러 개의 값을 모두 곱한 뒤, 그 개수만큼 거듭제곱근을 씌워 구하는 평균값이에요. 단순히 더해서 나누는 산술평균과 달리, 값이 몇 배로 불어나는 '비율'이나 '성장률'을 계산할 때 진짜 현실을 정확하게 보여줘요.
왜 더해서 나누면 안 될까요?
내 통장의 투자금이 첫해에 2배(100% 상승)가 되었다가, 이듬해에 절반(50% 하락)으로 줄었다고 상상해 보세요. 100만 원이 200만 원이 되었다가 다시 100만 원이 된 셈이에요. 실제로는 원금 그대로인데, 흔히 쓰는 더하기 방식의 산술평균으로 계산하면 이상한 일이 생겨요. (100% - 50%)를 2로 나누면 매년 평균 25%씩 돈을 번 것처럼 계산되거든요.
더하기 방식의 평균은 숫자가 차례차례 더해지는 상황에서만 들어맞아요. 하지만 돈의 성장이나 인구 증가처럼 앞선 결과에 꼬리를 물고 곱해지는 곱셈의 세계에서는 심각한 착시를 만들어요. 이럴 때 필요한 것이 바로 곱셈을 기준으로 계산하는 기하평균이에요.
기하평균으로 계산하면 2배(2)와 절반(0.5)을 곱해서 1을 만들고, 2년 동안의 변화이므로 제곱근을 씌워요. 루트 1은 그대로 1이 되므로, 매년 평균 성장률은 정확히 '0%'라는 진실이 드러나요.
도형으로 이해하는 기하평균의 원리
'기하'라는 단어는 도형과 공간을 연구하는 기하학(Geometry)에서 온 말이에요. 가로가 2cm이고 세로가 8cm인 길쭉한 직사각형을 머릿속에 떠올려 보세요. 이 직사각형의 넓이는 두 변을 곱한 16제곱센티미터가 돼요.
만약 이 직사각형과 넓이가 똑같은 '정사각형'을 만든다면 한 변의 길이를 얼마로 해야 할까요? 넓이가 16이 되려면 한 변의 길이는 4cm여야 해요. 이 4cm가 바로 2와 8의 기하평균이에요.
즉, 기하평균은 서로 다른 길이의 변들을 곱해 면적을 구한 뒤, 이를 동일한 크기의 정사각형 한 변으로 바꾸는 작업이에요. 3차원 입체 도형이라면 가로, 세로, 높이를 곱해 부피를 구한 뒤 세제곱근을 씌워 같은 부피의 정육면체 한 변을 찾는 원리예요.
조금 더 정확히 말하면
수학에는 쓰임새에 따라 다양한 평균이 존재해요. 우리가 일상에서 흔히 쓰는 '더해서 나누기'는 산술평균이고, 이동 속력이나 작업 능률을 잴 때는 '조화평균'을 써요. 모든 숫자가 양수일 때, 이 세 평균 사이에는 항상 성립하는 특별한 관계가 있어요.
같은 자료를 두고 계산하면 언제나 산술평균이 기하평균보다 크거나 같고, 기하평균은 조화평균보다 크거나 같아요. 비교하는 모든 숫자가 토씨 하나 안 틀리고 똑같을 때만 세 평균의 값이 일치하죠.
그렇기 때문에 투자 수익률이나 물가 상승률처럼 복리로 굴러가는 통계를 볼 때는 주의해야 해요. 산술평균을 쓰면 실제 성장세보다 숫자가 부풀려져 보이기 쉽거든요. 연속적인 비율 변화를 다룰 때는 언제나 기하평균으로 검증해야 현실을 제대로 파악할 수 있어요.
🤔 흔한 오해
평균을 구할 때는 어떤 자료든 다 더해서 개수로 나누면 된다.
더하기 방식(산술평균)은 덧셈 구조의 데이터에만 맞아요. 수익률, 인구 증가율, 배율처럼 곱셈으로 누적되는 데이터에는 기하평균을 써야 오차가 없어요.
🧺 일상에서 만나요
기하평균은 곱셈과 배율로 변하는 데이터를 왜곡 없이 정확하게 요약해 주는 평균 계산법이에요.