기댓값
불확실한 게임을 수없이 반복했을 때 평균적으로 손에 쥐게 되는 성적표의 기준점이에요.
정의 기댓값(Expected Value)은 어떤 사건이 일어날 때 얻을 수 있는 값들에 각각의 확률을 곱해서 모두 더한 평균값이에요. 결과를 정확히 알 수 없을 때, '오랫동안 반복하면 평균적으로 이 정도를 얻겠구나' 하고 합리적인 기준을 세울 수 있게 도와줘요.
동전 던지기 내기에서 얼마를 벌 수 있을까요?
앞면이 나오면 1,000원을 받고 뒷면이 나오면 0원을 받는 동전 던지기 게임을 상상해 보세요. 동전의 앞면과 뒷면이 나올 확률은 각각 2분의 1(50%)이에요. 이 게임을 딱 한 번만 한다면 우리는 1,000원을 받거나 아무것도 받지 못해요. 중간 점수인 500원을 받는 일은 절대 일어나지 않죠.
하지만 이 게임을 100번, 1,000번 끝없이 반복하면 어떻게 될까요? 대략 절반은 앞면이 나와 1,000원을 얻고, 나머지 절반은 뒷면이 나와 0원을 얻을 거예요. 총 얻은 돈을 전체 게임 횟수로 나누면 한 판당 평균 500원을 챙기게 돼요.
이때 계산한 500원이 바로 이 게임의 기댓값이에요. 각 결과에 일어날 확률을 곱해서 더하면 돼요. 즉, 일어날 확률을 가중치로 삼아 계산한 평균인 셈이에요.
조금 더 정확히 말하면: 복권과 보험의 비밀
우리가 사는 복권 한 장의 가격이 1,000원인데 기댓값이 500원이라면 어떨까요? 복권을 한 번 사서 당첨되면 수억 원을 벌 수도 있지만, 장기적으로 복권을 계속 살수록 한 장당 500원씩 손해를 본다는 뜻이에요. 카지노의 모든 도박 게임도 참가자의 기댓값이 참가비보다 항상 낮게 설계되어 있어요.
반대로 보험은 기댓값만 따지면 가입자에게 손해일 수 있어요. 사고가 날 확률은 매우 낮아서 내는 보험료에 비해 돌려받는 돈의 기댓값이 적거든요. 하지만 사람들은 감당하기 어려운 치명적인 위험을 막기 위해 기댓값의 손해를 감수하고 안정성을 선택해요.
조금 더 정확히 말하면 기댓값은 단순히 미래를 맞히는 숫자가 아니에요. 불확실한 상황에서 어떤 선택이 장기적으로 유리한지 불리한지 판단하는 가장 객관적인 나침반 역할을 해주는 통계적 기준이에요.
큰수의 법칙과 만나는 순간
단 한 번의 실행에서는 기댓값과 똑같은 숫자가 절대 나오지 않을 수 있어요. 주사위를 한 번 굴렸을 때 나오는 눈의 기댓값은 3.5점이지만, 주사위에는 3.5라는 눈이 없으니까요. 기댓값은 '이번 한 번에 나올 값'이 아니라 '무수히 많이 했을 때의 평균'을 뜻해요.
그럼에도 기댓값이 강력한 도구인 이유는 시행 횟수가 늘어날수록 실제 평균 결과가 기댓값에 오차 없이 점점 가까워지기 때문이에요. 이를 과학과 수학에서는 큰수의 법칙이라고 불러요. 카지노나 보험회사가 사업을 유지할 수 있는 비결도 바로 이 법칙 덕분이에요.
일상에서 크고 작은 선택을 내릴 때도 기댓값을 떠올리면 좋아요. 어떤 행동으로 얻을 수 있는 가치와 잃을 수 있는 손실에 각각의 확률을 곱해 비교해 보는 거예요. 감정에 치우치지 않고 기댓값을 기준으로 삼으면 훨씬 합리적이고 지혜로운 판단을 내릴 수 있어요.
🤔 흔한 오해
기댓값은 다음번에 실제로 나올 것으로 기대되는 값이다.
기댓값은 단 한 번의 시도에서 나오는 값이 아니에요. 주사위 눈의 기댓값은 3.5이지만 3.5라는 눈은 실제로 나오지 않듯이, '수없이 반복했을 때 수렴하는 평균값'을 의미해요.
🧺 일상에서 만나요
어떤 일이 일어날 확률과 그 결과의 가치를 곱해 모두 더한 값으로, 수많은 반복 속에서 얻게 될 평균적인 기준점이에요.