정규분포

수많은 사람들의 키나 시험 점수를 모았을 때 자연스럽게 만들어지는 완만한 종 모양의 언덕이에요.

정의 정규분포는 데이터가 평균을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양을 그리며 흩어져 있는 확률 분포를 말해요. 세상의 수많은 측정값들이 가운데에 가장 많이 몰리고 양 끝으로 갈수록 드물어지는 성질을 수학적으로 나타낸 것이에요.

가운데가 불룩 솟은 종 모양 언덕

학교 전교생의 키를 조사해서 막대그래프로 차례차례 그려보면 어떤 모양이 나올까요? 대한민국 청소년 평균 키 근처에 가장 많은 학생들이 빽빽하게 모여 서 있게 돼요.

반대로 평균보다 훨씬 키가 작거나 유난히 키가 큰 학생은 양쪽 끝으로 갈수록 그 수가 눈에 띄게 줄어들어요. 이 수많은 기둥들의 윗부분을 매끄러운 하나의 선으로 부드럽게 이으면, 가운데가 솟아오른 완벽한 대칭 종 모양이 만들어져요.

장난감 판 위에 수많은 쇠구슬을 쏟아붓는 실험을 해도 똑같은 모습이 나타나요. 구슬이 핀에 부딪히며 좌우로 무작위로 튕기지만, 결국 바닥에는 평균 지점에 가장 많은 구슬이 산처럼 수북이 쌓이게 된답니다.

정규분포에는 데이터의 종류와 상관없이 언제나 신기할 정도로 똑같이 들어맞는 일정한 비율 규칙이 숨어 있어요. 평균에서 데이터가 퍼진 너비를 나타내는 '표준편차'를 잣대로 삼을 때 나타나는 마법이에요.

평균을 중심으로 표준편차 1배만큼의 구간 안에는 전체 관측값의 약 68%가 얌전하게 모여 있어요. 범위를 2배로 넓히면 전체의 약 95%가 포함되고, 3배로 넓히면 무려 99.7%라는 거의 모든 데이터가 이 영역 안에 쏙 들어와요.

이 규칙을 알면 복잡한 통계 계산을 일일이 하지 않아도 세상의 위치를 바로 가늠할 수 있어요. 예를 들어 전국 시험에서 상위 2.5% 안에 드는 우수한 성적을 받으려면, 평균보다 표준편차의 2배 이상 높은 점수를 얻어야 한다는 계산이 단번에 나온답니다.

키, 몸무게, 시험 점수, 심지어 공장에서 찍어내는 볼트의 정밀한 두께까지 왜 세상은 온통 이 종 모양을 따를까요? 자연과 사회에서 일어나는 수많은 일은 단 하나의 원인이 아니라 아주 많은 작은 우연들이 겹쳐서 만들어지기 때문이에요.

사람의 키만 보더라도 수백 개의 유전자, 어릴 때 먹은 음식, 수면 습관, 운동량 같은 무수한 독립적인 요인들이 복합적으로 더해져요. 여러 요인이 서로 더해지는 과정에서 너무 크거나 너무 작은 극단적인 우연은 서로 상쇄되고, 대부분은 평범한 중간 근처에 머물게 돼요.

수학에서는 이러한 놀라운 성질을 중심극한정리라는 이름으로 증명했어요. 원래 데이터가 어떤 괴상한 모양을 띠고 있더라도, 그것들을 여러 번 뽑아 평균을 내면 반드시 정규분포로 수렴한다는 위대한 발견이에요.

✕ 오해

세상의 모든 데이터는 표본이 많아지면 무조건 정규분포를 따른다.

✓ 사실

소득 분포나 도시 인구처럼 한쪽으로 심하게 치우친 데이터(멱법칙)는 표본이 많아져도 정규분포가 되지 않아요. 독립적인 여러 요인이 골고루 더해지는 구조일 때 정규분포가 나타나요.

1 전국 수험생의 수능 표준점수 분포는 정규분포 곡선을 기반으로 계산돼요.

2 공장에서 과자 봉지를 자동으로 채울 때 발생하는 미세한 무게 차이도 정규분포를 따라요.

💡 그러니까 한마디로

수많은 작은 우연이 더해질 때 평균을 중심으로 좌우대칭 종 모양을 이루는 통계의 가장 대표적인 분포예요.