소수의 무한성
레고 블록으로 아무리 거대한 건물을 지어도 기본 부품의 종류가 결코 바닥나지 않는 것과 같아요.
정의 소수(1과 자기 자신으로만 나누어떨어지는 1보다 큰 자연수)가 끝없이 계속해서 나타난다는 수학적 정리예요. 수가 아무리 커져도 더 이상 쪼갤 수 없는 '가장 마지막 소수'는 존재하지 않아요.
세상의 모든 수를 만드는 기본 블록
장난감 상자에 든 레고 블록을 상상해 보세요. 여러 블록을 조립해서 거대한 성이나 자동차를 만들 수 있지만, 블록 부품 자체는 더 이상 쪼갤 수 없어요.
수학에서 이 기본 블록 역할을 하는 숫자가 바로 소수(1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수)예요. 2, 3, 5, 7 같은 수들이죠. 6은 2와 3을 곱해 만들 수 있고, 12는 2, 2, 3을 곱해 만들 수 있어요. 1보다 큰 모든 자연수는 소수들의 곱으로 분해돼요.
그렇다면 숫자가 1억, 1조를 넘어 끝없이 커질 때 이 기본 블록도 계속 새로 나타날까요? 숫자가 커질수록 다른 수로 나누어떨어질 확률이 높아져서 언젠가는 소수가 완전히 사라질 것처럼 보여요. 하지만 소수는 우주 끝까지 가도 결코 바닥나지 않아요.
유클리드가 발견한 기막힌 반전
약 2300년 전 고대 그리스의 수학자 유클리드는 이 질문에 아주 우아한 답을 내놓았어요. 그는 '소수가 유한하다(끝이 있다)'고 억지로 가정해 보는 귀류법(거짓을 가정해 모순을 밝히는 증명법)을 썼어요.
세상에 소수가 딱 2, 3, 5 세 가지만 있다고 가정해 볼게요. 이제 이 소수들을 전부 곱한 뒤 1을 더해봅니다. (2 × 3 × 5) + 1은 31이 돼요.
이 새로운 숫자 31을 2로 나누면 나머지가 1이 남아요. 3으로 나누어도 1이 남고, 5로 나누어도 1이 남죠. 즉, 우리가 알고 있던 모든 소수로는 나누어떨어지지 않아요. 결국 31 자체가 새로운 소수이거나, 우리가 몰랐던 또 다른 소수로 나누어져야 해요. 어느 쪽이든 기존 목록에 없던 새로운 소수가 반드시 존재한다는 결론에 이릅니다.
조금 더 정확히 말하면
기존 소수를 모두 곱하고 1을 더한 수가 언제나 그 자체로 소수가 되는 것은 아니에요. 조금 더 정확히 말하면, 그 계산 결과가 합성수(소수가 아닌 수)일지라도 반드시 새로운 소수 약수를 갖게 된다는 뜻이에요.
예를 들어 처음 6개의 소수를 곱해 1을 더한 (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13) + 1은 30031이에요. 이 수는 소수가 아니라 59와 509라는 새로운 두 소수의 곱으로 쪼개져요. 중요한 것은 결과가 소수이든 아니든, 기존 목록 밖의 새로운 소수가 무조건 필요하다는 사실이에요.
소수는 수가 커질수록 점점 드물게 나타나지만 완전히 사라지지는 않아요. 오늘날 우리가 인터넷 뱅킹이나 메신저에서 사용하는 현대 암호 체계의 뼈대 역시 이 소수의 무한하고 신비로운 성질 덕분에 안전하게 작동하고 있답니다.
🤔 흔한 오해
유클리드의 방식대로 '알려진 모든 소수를 곱하고 1을 더한 수'는 언제나 그 자체가 소수다.
그 수 자체가 반드시 소수인 것은 아니에요. 합성수일 수도 있지만, 그 경우에도 기존 목록에 없던 완전히 새로운 소수를 약수로 갖게 되므로 소수가 무한하다는 증명은 여전히 완벽해요.
🧺 일상에서 만나요
소수는 자연수를 만드는 기본 블록이며, 아무리 큰 수를 향해 가도 끝없이 새로운 소수가 나타나요.